Twierdzenie Bayesa – Czemu 3 testy dają 75%? ?

Hej!

Zauważyłem że wielu ludzi nie zgadzało się z tym że powiedziałem w filmie w 4:32, czyli że jeżeli ten sam warszawiak byłby przebadany przez nas 3 razy używają tego samego testu to prawdopodobieństwo iż ma aidsbolę wynosi 75%.

Nie ma tu żadnej pomyłki w kalkulacji.

Pozwólcie że wytłumaczę jak to działa. Oto opis pierwszego testu, włącznie z definicjami:

P(x) – prawdopodobieństwo że x.
Ch – osoba jest chora
Z – osoba jest zdrowa
WD – wynik dodatni testu

Oto opis pierwszej kalkulacji:
P(Ch)=10%=0,1
P(Z)= 100% – 10%= 1-0,1=0,9
P(WD I Ch)=90%=0,9
P(WD I Z)= 30%=0,3

Jeżeli wbijemy te liczy do twierdzenia Bayesa to wychodzi:
P(Ch I WD)= 25%
P(Z I WD)= 75%

Można to zobaczyć samemu używają np. kalkulatora do twierdzenia Bayesa:

http://psych.fullerton.edu/mbirnbaum/bayes/BayesCalc.htm

Do tego punktu myślę że wszyscy się zgadzamy. Teraz, jak mówiłem w filmie naszym zadaniem jest oszacować jak bardzo prawdopodobne to jest że nasz warszawiak (ten sam warszawiak który miał wynik dodani w pierwszym „obrocie”) ma aidsbolę po jeszcze 2 testach (gdzie używamy tego samego testu).

Najpierw odpowiedzmy na pytanie jak bardzo prawdopodobne to jest że ma aidsbolę po 2 testach!

Posłużymy się w tym celu jeszcze raz (oczywiście) twierdzeniem Bayesa. Co powinniśmy obrać jako prawdopodobieństwo wstępne. Prawdopodobieństwo nie będzie 90% : 10% (jak ogólna populacja warszawy), ponieważ my pytamy jak bardzo prawdopodobne to jest że TEN WARSZAWIAK który (jak już wiemy) raz otrzymał wynik dodatni, ma aidsbolę. A więc w naszym prawdopodobieństwie wstępnym powinniśmy uwzględnić wszystko (wszystkie dowody) co wiemy o JEGO historii. A o jego historii wiemy to że w poprzednim teście miał wynik dodatni. A więc nasze prawdopodobieństwo wstępne dla drugiego testu musi być zaktualizowane w świetle dowodów z pierwszego.

Czyli, teraz prawdopodobieństwo wstępne będzie wyglądać tak:

P(Ch & WD1)= 25% – to oznacza „prawdopodobieństwo że ktoś jest chory ORAZ że miał wynik dodatni jeden raz w teście”.
P(Z & WD1)= 75%- to oznacza „prawdopodobieństwo że ktoś jest zdrowy ORAZ że miał wynik dodatni jeden raz w teście”.

Czyli, jak łatwo zauważyć, nasze prawdopodobieństwo wstępne kiedy (ten konkretny) warszawiak podchodzi do testu drugi raz to dokładnie to samo co rezultat pierwszego testu.

Skuteczność testu przy drugim podejściu do tego testu się nie zmienia oczywiście. Fakt iż za pierwszym razem warszawiak miał wynik dodatni nie wpływa na to jak skutecznie test wykrywa że Ch lub jak skutecznie wykrywa że Z. Co znaczy że:

WD2 – wynik dodatni testu drugiego.

P(WD2 I Ch & WD1)=90%=0,9
P(WD2 I Z & WD1)= 30%=0,3

To daje następujący wykres:

Wynik jeżeli wklepiemy to do twierdzenia Bayesa jest taki:

P(Ch & WD1 I WD2)= 50%
P(Z & WD1 I WD2)= 50%

Ten zapis, używając prozy mówi „prawdopodobieństwo tych dwóch zdarzeń, iż zarówno ktoś jest chory jak i dostał wynik dodatni za pierwszym razem, w świetle dowodów WD2 to 50%”. Oczywiście, WD1 pełni tu tylko taką rolę że informuje nas że dzialiśmy z inną populacją niż w pierwszym badaniu. Nijak nie znaczy to że prawdopodobieństwo tego że dostaliśmy wynik dodatni w pierwszym losowaniu jest jakoś „bardziej prawdopodobne”, przecież to wiemy absolutnie! A więc, tak naprawdę daje nam to informacje na temat prawdopodobieństwa iż warszawiak ma chorobę.  Jeżeli komuś jest wygodniej – mówimy tutaj o prawdopodobieństwo że warszawiak pochodzi z tej części prostokąta która ma nad sobą 25%. W świetle dowodów (WD2) prawdopodobieństwo to wynosi 50%. I to samo dla zdrowego.

Przy trzecim badaniu sytuacja się powtarza. Kiedy ustalamy prawdopodobieństwo wstępne bierzemy po prostu wynik poprzedniego badania.

P(Ch & WD1 & WD2)=50%
P(Z & WD1 & WD2)= 50%

Skuteczność testu taka sama.

Wykres:

Jeżeli wbijemy do twierdzenia to wychodzi:

P(Ch & WD1 & WD2 I WD3)=75%
P(Z & WD1 & WD2 I WD3)= 25%

Wynik czwartego testu dawałby:

P(Ch)=90%

P(Z)=10%

Wynik piątego testu dawałby:

P(Ch)=96,5%

P(Z)=3,5%

DZIĘKI ZA UWAGĘ!!!!